微分方程式メモその1です。

1. 代数方程式と関数方程式

例えば、 $x + 3 = 5$ という式があり、 $x$ について解けと言われれば $x = 5 - 3$ を計算して $x = 2$ という解を得られます。解きたい文字だけに注目して、その文字だけになるように計算していけば良いです。これを代数方程式といい、値（文字）が求まります。

さて、 $\frac{dy}{dx} = 2x$ について解けと言われた場合は、まずは左辺を見ます。微分の形式になっているので式全体としては「 $y$ という関数を $x$ で微分したものが 3x になる」という意味になります。この計算は値を求めるのではなく、「微分したら $3x$ になるような関数」を求めることになるので関数方程式といいます。

2. 微分表記の話

微分表記には色々ありますが、例えばある関数 $f(x)$ を微分したとすると $f'(x)$ または $\frac{df(x)}{dx}$ または $Df(x)$ と表せます。とくに $D$ を微分演算子といい、 $D = \frac{d}{dx}$ です。どれを使ってもいいのですが、例えば「何で微分するかを明確にしたい」場合は2番目、「テイラー展開やマクローリン展開」のような何度も書く必要があるものを簡単に表記したい場合は1番目と使い分けます。ちなみに3番目は微分方程式で使うと楽できます。

微分演算子は1階微分は $\frac{d}{dx} = D$ , 2階微分は $\frac{d^{2}}{dx^{2}} = D^{2}$ , 3階微分は $\frac{d^{3}}{dx^{3}} = D^{3}$ となります。よって、 $n$ 階微分の場合は $\frac{d^{n}y}{dx^{n}} = D^{n}$ です。

例えば、 $\frac{d^{2} y}{dx^{2}} + \frac{dy}{dx} + 3y = 0$ を微分演算子で表す場合、 $D^{2} y + Dy + 3y = 0$ となります。つまり、関数を一時的に「1つの文字」としてみなすことができます。（実体は演算子なので単体では意味を持ちません。）

1節で書いた式を微分演算子に直すと、 $Dy = 2x$ となります。

3. 逆演算子

上の式の $Dy$ は $D$ と $y$ が積になっている（とみなせる）ので、 $y$ （関数）について解きたい場合、は両辺を $D$ で割ればいいことになります。「割る」というのは「逆数」を掛けることなので、微分の逆演算、つまり「積分」すればいいことになります。つまり、

$\displaystyle{ \frac{1}{D} = D^{-1} = \int }$

という意味です。

4. 微分方程式を解く

上のルールを適用すれば、

$\displaystyle{ Dy = 2x \\ y = D^{-1} 2x \\ y = \int 2x \ dx \\ y = 2 \left[ \frac{1}{2}x^{2} \right] + C \\ y = x^{2} + C　(C : 任意定数) }$

と求めることができます。解は $y$ となっていますが、これは値ではなく関数です。なので、解を $y$ に放りこむと

$\displaystyle{ D(x^{2} + C) = 2x \\ \frac{d(x^2)}{dx} = 2x \\ 2x = 2x }$

となるので微分方程式の解は $y(x) = x^{2} + C$ であることが確かめられました。ちなみに任意定数は何でもいいので 0 としました。

5. 微分 演算子を使わない方法

$\displaystyle{ \frac{dy}{dx} = 2x \\ dy = 2x \ dx }$

となります。 $dx$ を両辺に掛けると右辺は $2x$ と $dx$ の積、つまり「微小な区間を掛ける」ことになります。式全体を見ると、「 $2x$ は微小区間 $dx$ だけ変化させると微小区間 $dy$ だけ変化する」という意味です。微小区間を連続につなげて1つの関数としての変化を見たいので、 $dx$ で積分します。積分すると微小ではなくなるので $d$ は必要ありません。

$\displaystyle{ dy = 2x \ dx \\ y = \int 2x \ dx \\ y = x^{2} + C　(C : 任意定数) }$

これで解を得られました。どちらの方法を使っても同じ解になるので、解きやすいほうで良いと思います。

6. 右辺の項が増えても同じ

右辺にもう一つ項を足してみます。

$\displaystyle{ Dy = 3x^{2} + 2x \\ y = D^{-1} (3x^{2} + 2x) \\ y = \int (3x^{2} + 2x) \ dx \\ y = \left[ \frac{3}{3} x^{3}+ \frac{2}{2} x^{2} \right] + C \\ y = x^{3} + x^{2} + C　(C : 任意定数) }$

右辺が増えても同じですね。任意定数を 0 にして微分すれば $3x^{2} + 2x$ になります。検算は同様に代入して計算すれば良いです。

右辺を三角関数にしてみます。第二項は合成関数なので置換積分が必要ですね。

$\displaystyle{ Dy = {\rm cos} \ x + {\rm sin} \ 2x \\ y = D^{-1} ({\rm cos} \ x + {\rm sin} \ 2x ) \\ y = \int ({\rm cos} \ x + {\rm sin} \ 2x ) \ dx \\ y = \left[ {\rm sin} \ x - \frac{1}{2} {\rm cos} \ 2x \right] + C \\ y = {\rm sin} \ x - \frac{1}{2} {\rm cos} \ 2x + C　(C : 任意定数) }$

置換積分：
${\rm sin} \ x$ に $2x$ が合成されているので、 $2x$ を置換します。すると、微分したときに 2 が残ってしまうので逆数を掛けて打ち消します。 $dx$ 同士が約分出来て、微小区間 $d(2x)$ で積分できるようになります。

$\displaystyle{ 　\int {\rm sin} \ 2x \ dx \\ = \int {\rm sin} \ (2x) \ dx \ \frac{d(2x)}{dx} \ \frac{1}{2} \\ = \frac {1}{2} \int {\rm sin} \ (2x) \ d(2x) \\ = - \frac{1}{2} {\rm cos} \ 2x }$