1. 微分 演算子法の補足

前回は微分演算子法で微分方程式を解きました。そのとき、因数分解さえできれば代入するだけで解を求めることができました。

さて、微分演算子にはこのようなルールがありました。

$\displaystyle{ \frac{1}{D} = D^{-1} = \int }$

例えば次のような微分方程式を解くと、

$\displaystyle{ \frac{d^{2}y}{dt^{2}} + \frac{dy}{dt} + 6y = 0\\ D^{2}y + Dy - 6y = 0 \\ (D + 3) (D - 2)y = 0 \\ 補助方程式（特性方程式）より、\\ \lambda = -3, 2 \\ }$

$\lambda$ が $-3$ か $2$ のときに右辺が 0 になるような方程式になっています。また、これは元々展開されていた式 $(D^{2} + D - 6)y$ でも同様で、この時にも右辺が 0 になるような方程式になっていると言えます。これらはそれぞれ場合分けできて、

$\displaystyle{ (1) \ \lambda = -3 のとき \\ (D + 3)y = 0 \\ y = (D + 3)^{-1} \cdot 0 \\ 　\\ (2) \ \lambda = 2 のとき \\ (D - 2) y = 0\\ y = (D - 2)^{-1} \cdot 0\\ 　\\ (3) \ (D^{2} + D - 6)y のとき \\ (D^{2} + D - 6)y = 0 \\ y = (D^{2} + D - 6)^{-1} \cdot 0 \\ }$

となります。さて、微分演算子の逆演算子は積分になりますが、重要なのは「積分しても変わらない関数」でした。つまり、左辺の $y$ という関数と、右辺の積分した結果の関数は等しくないといけません。そこで、両辺に $e^{- \lambda t}$ を掛けます。右辺は「積分しても変わらない」ようにするため、積分に作用する形で掛けます。また、マイナスになっているのは因数分解を解いて符号が逆になっているためです。

$\displaystyle{ (1) \ e^{-\lambda t} y = (D + 3)^{-1} e^{-\lambda t} \cdot 0 \\ 　\\ (2) \ e^{-\lambda t} y = (D - 2)^{-1} e^{-\lambda t} \cdot 0 \\ 　\\ (3) \ e^{-\lambda t} y = (D^{2} + D - 6)^{-1} e^{-\lambda t} \cdot 0 \\ }$

しかし、このままでは左辺が $y$ と $e^{- \lambda t}$ の積の関数になって $y$ について解けないので、両辺に符号を逆にした $e^{\lambda t}$ を掛けます。右辺は積分に作用させてしまうと $e^{- \lambda t} \cdot e^{\lambda t}$ 同士で 1 （定数）になってしまい、「積分しても変わらない関数」を満たさなくなってしまいます。なので、微分演算子の前にもってきます。すると、

$\displaystyle{ (1) \ y = e^{\lambda t} (D + 3)^{-1} e^{-\lambda t} \cdot 0 \\ 　\\ (2) \ y = e^{\lambda t} (D - 2)^{-1} e^{-\lambda t} \cdot 0 \\ 　\\ (3) \ y = e^{\lambda t} (D^{2} + D - 6)^{-1} e^{-\lambda t} \cdot 0 \\ }$

このような形となり、 $y$ について解くことができます。ちなみに、ちゃんとした証明はこちらにあります。

これを踏まえて実際に解いてみます。

$\displaystyle{ (1) \ y = e^{\lambda t} (D + 3)^{-1} e^{-\lambda t} \cdot 0 \\ 因数分解より \lambda = -3 \\ y = e^{-3t} (D + 3 - 3)^{-1} e^{3t} \cdot 0 \\ = e^{-3t} D^{-1} e^{3t} \cdot 0 \\ = e^{-3t} \int 0 \ dt \\ = e^{-3t} C_{1} \\ = C_{1}e^{-3t} }$

$\displaystyle{ (2) \ y = e^{\lambda t} (D - 2)^{-1} e^{-\lambda t} \cdot 0 \\ 因数分解より \lambda = 2 \\ y = e^{2t} (D - 2 + 2)^{-1} e^{-2t} \cdot 0 \\ = e^{2t} D^{-1} e^{-2t} \cdot 0 \\ = e^{2t} \int 0 \ dt \\ = e^{2t} C_{2} \\ = C_{2}e^{2t} }$

さて、(3) についてですが、これはいわゆる特殊解というもので同次形の微分方程式には特殊解がありません。なので 0 としてもいいのですが、一応式だけ載せます。

$\displaystyle{ (3) \ y = e^{\lambda t} (D^{2} + D - 6)^{-1} e^{-\lambda t} \cdot 0 \\ = e^{0 t} (D^{2} + D - 6)^{-1} e^{0 t} \cdot 0 \\ = (D^{2} + D - 6)^{-1} \cdot 0 \\ = - \frac{0}{6} = 0 }$

(1), (2), (3) より、関数の線形性で

$\displaystyle{ y(t) = C_{1}e^{-3t} + C_{2}e^{2t}　（C_{1}, C_{2} : 任意定数） }$

と求めることができます。勿論、初めから線形性を利用して (1) + (2) + (3) の状態で一気に計算できます。ちなみに、因数分解の解を用いて求めた関数の解を斉次解（同次解）、因数分解の解を用いずにそのまま求めた解は特殊解です。つまり、微分方程式の一般解は斉次解（同次解）+ 特殊解によって求めることができます。

2. 非斉次（非同次）の微分方程式

非斉次（非同次）は右辺が 0 でないものです。例えば $\frac{d^{2}x}{dt^{2}} - 4x = 8$ を解くときは先ほどの例を参考に解けるのですが、注意が必要です。微分方程式の一般解は同次解と特殊解によるものです。なので、同次解は因数分解の解、すなわち右辺が 0 になるような組み合わせの関数を求めることになります。特殊解は因数分解をしないので、右辺がそのまま作用されます。代わりに $e^{-\lambda t}$ は因数分解しないので $\lambda = 0$ とおき、 1 として扱います。また、微分演算子の項はキャンセルされて定数項のみ残ります。

$\displaystyle{ \frac{d^{2}x}{dt^{2}} - 4x = 8 \\ D^{2}x - 4x = 8 \\ (D^{2} - 4)x = 8\\ 特性方程式より \\ (D + 2)(D - 2)x = 8 \\ x = (D + 2)^{-1} \cdot 0 + (D - 2)^{-1} \cdot 0 + (D^{2} - 4)^{-1} \cdot 8\\ x = e^{-2t} (D + 2 - 2)^{-1} e^{2t} \cdot 0 + e^{2t} (D - 2 + 2)^{-1} e^{-2t} \cdot 0 + (D^{2} - 4)^{-1} \cdot 8\\ x = e^{-2t} D^{-1} e^{2t} \cdot 0 + e^{2t} D^{-1} e^{-2t} \cdot 0 + (D^{2} - 4)^{-1} \cdot 8\\ x = e^{-2t} \int 0 \ dt + e^{2t} \int 0 \ dt + \left( -\frac{8}{4} \right) \\ x = e^{-2t} C_{1} + e^{2t} C_{2} + \left( -2 \right) \\ x(t) = C_{1}e^{-2t} + C_{2}e^{2t} - 2 　（C_{1}, C_{2} : 任意定数） }$

3.1 部分分数分解を使う場合

部分分数分解で微分演算子の逆演算子が出てきた場合、積分定数は 0 として扱います。

$\displaystyle{ \frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \frac{dx}{dt} = t \\ (D^{2}x + Dx) = t \\ (D^{2} + D) x = t \\ D(D + 1)x = t \\ x = D^{-1} \cdot 0 + (D + 1)^{-1} \cdot 0 + (D^{2} + D)^{-1} \cdot t \\ x = e^{0t} D^{-1} e^{-0t} \cdot 0 + e^{-t} (D + 1 - 1)^{-1} e^{t} \cdot 0 + \left( \frac{1}{D^{2} + D} \right) \cdot t \\ x = \int 0 \ dt + e^{-t} \int 0 \ dt + \left( \frac{1}{D} - \frac{1}{D + 1} \right) \cdot t \\ x = C_{1} + e^{-t} C_{2} + D^{-1} \cdot t + (D - 1)^{-1} \cdot t \\ x = C_{1} + C_{2}e^{-t} + \int t \ dt + \left( - \frac{t}{1} \right) \\ x(t) = C_{1} + C_{2}e^{-t} + \frac{t^{2}}{2} - t 　（C_{1}, C_{2} : 任意定数） }$

ちなみに、右辺が三角関数だったり、多項だったりする場合も同様に解けるのですが、長くなるので次回に回します。

3. いろいろ解く

3.1 問題

$\displaystyle{ (1) \ \frac{d^{2}x}{dt^{2}} - 4\frac{dx}{dt} + 4x = 0 \\ (2) \ \frac{dx}{dt} + 3x = 2 \\ (3) \ \frac{d^{2}x}{dt^{2}} - \frac{dx}{dt} - 6x = 1 }$

3.2 解答

$\displaystyle{ (1) \ \frac{d^{2}x}{dt^{2}} - 4\frac{dx}{dt} + 4t = 0 \\ D^{2}x - 4Dx + 4x = 0\\ (D^{2} - 4D + 4)x = 0\\ (D - 2)^{2} x = 0\\ x = (D - 2)^{-2} \cdot 0 + (D^{2} - 4D + 4)^{-1} \cdot 0 \\ x = e^{2t} (D - 2 + 2)^{-2} e^{2t} \cdot 0 + \frac{0}{4} \\ x = e^{2t} D^{-2} e^{-2t} \cdot 0 + 0 \\ x = e^{2t} D^{-1} \int 0 \ dt \\ x = e^{2t} \int C_{1} dt \\ x = e^{2t} (t C_{1} + C_{2}) \\ x(t) = e^{2t} (C_{1}t + C_{2})　（C_{1}, C_{2} : 任意定数） }$

$\displaystyle{ (2) \ \frac{dx}{dt} + 3x = 2 \\ Dx + 3x = 2 \\ (D + 3)x = 2 \\ x = (D + 3)^{-1} \cdot 0 + (D + 3)^{-1} \cdot 2 \\ x = e^{-3t} (D + 3 - 3)^{-1} e^{3t} \cdot 0 + (D + 3)^{-1} \cdot 2 \\ x = e^{-3t} D^{-1} e^{3t} \cdot 0 + \frac{2}{3} \\ x = e^{-3t} \int 0 \ dt + \frac{2}{3} \\ x = C_{1}e^{-3t} + \frac{2}{3}　（C_{1} : 任意定数） }$

$\displaystyle{ (3) \ \frac{d^{2}x}{dt^{2}} - \frac{dx}{dt} - 6x = 1 \\ D^{2}x - Dx - 6x = 1\\ (D^{2} - D - 6)x = 1 \\ (D - 3)(D + 2)x = 1 \\ x = (D - 3)^{-1} \cdot 0 + (D + 2)^{-1} \cdot 0 + (D^{2} - D - 6)^{-1} \cdot 1 \\ x = e^{3t} (D - 3 + 3)^{-1} e^{-3t} \cdot 0 + e^{-2t} (D + 2 - 2)^{-1} e^{2t} \cdot 0 + \left( -\frac{1}{6} \right) \\ x = e^{3t} D^{-1} e^{3t} \cdot 0 + e^{-2t} D^{-1} e^{2t} \cdot 0 - \frac{1}{6} \\ x = e^{3t} \int 0 \ dt + e^{-2t} \int 0 \ dt - \frac{1}{6} \\ x = e^{3t}C_{1} + e^{-2t}C_{2} - \frac{1}{6} \\ x(t) = C_{1}e^{3t} + C_{2}e^{-2t} - \frac{1}{6}　（C_{1}, C_{2} : 任意定数） }$