たくのろじぃのメモ部屋

プログラミング関係や数学、物理学などの内容を備忘録として残すブログ。プログラミングはC#を中心に書いています。

【数学メモ】スカラー場の線積分

積分は3年前くらいに習ったと思うのですが、以来まったく使ってこなかったのですっかり忘れてしまいました。思い出せるようにメモしていきます。

1. 積分

積分と同じやろ」と思って計算していたら、それは面積を計算しているのと同じになってしまいます。イメージとしては「線をつなげていく」です。普通の積分だと、 $$ \int_{a}^{b} f(x) dx $$

こんな数式です。関数  f(x) を微小区間  dx ごとに分割し、それを  a から  b までの間で足し合わせていくための計算です。で、微小区間  dx というのは  x軸方向に対しての区間なので、図にしてみるとこうですね。

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なので普通に積分すれば面積が求められるわけです。

2. 線積分

では線積分はどうなるかというと、こうなります。 $$ \int_{C} f(x, y) ds $$

さっきと変わった点は関数が2変数関数になったことと、 dx から  ds になったことです。あと積分区間 C になっています。けど、これだけではさっぱりですね。

2.1 直線の長さ

こんな図を用意しました。左側は3次元空間、右側は2次元空間です。

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先に右側の赤い線の長さ  l を求めてみます。2次元のベクトルと考えれば三平方の定理を使って $$ l = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $$

で求められます。同様にして左側の緑色の線は3次元のベクトルと考えて、 $$ l = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} $$

で求められます。

2.2 曲線の長さ

ただ、曲線はそう簡単には求まりません。位置によって "くねくね" しているので変化量が一定ではありません。

しかし、どんな曲線でも微小な区間ごとに取り出してみると直線とみなせます。まずは上からみた図として2次元空間に落としてきます。

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これで関数を線としてみなすことができます。ここからさらに線を直線で表していきます。直線にするには微小区間に分けてつなげていけばいいので、

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こうなります。矢印1つあたりの変化(傾き)は  ds になります。で、この  ds は直線の式に当てはめることができます。

$$ ds = \sqrt{dx^{2} + dy^{2}} $$

これを連続してつないでいくことによって曲線を実現できるのですが、変化は位置によって異なります。ただ、位置は  dx, dy に依存しているので1変数だけを動かすわけにはいきません。なので、2変数を一気に変化させることのできるように工夫します。

2.3 時間を取り入れる

位置を変えるために時間を取り入れて、瞬間的な時間変化を  dt とします。すると、微小区間の直線の長さ  ds は成分  dx, dy によって決まります。さらに、これら成分は時間によって変化するのでそれぞれ  dx(t), dy(t) となります。

「時間によって変化する」→ 「時間で微分できる」→ 「刻々の変化(直線の長さ)が求められる」という流れです。

$$ \frac{ ds(dx(t), dy(t)) }{dt} = \sqrt{ \left( \frac{dx(t)}{dt} \right)^{2} + \left( \frac{dy(t)}{dt} \right)^{2} } $$

あとは時々刻々の直線の長さを足し合わせていけばいいので、微小区間の直線の長さ  ds を連続してつなげばいいことになります。なので、上の式を線積分の式に代入してみると、微小時間  dt積分すれば

$$ \int_{C} f(x(t), y(t)) \sqrt{ \left( \frac{dx(t)}{dt} \right)^{2} + \left( \frac{dy(t)}{dt} \right)^{2} } \ dt $$

となります。ただし、関数  f(x, y) は時間変化を考慮して  f(x(t), y(t)) になります。

あとは積分範囲ですが、 dt なので時間の積分(あるいは経路による積分)です。ただ、 C となっているのは、この積分が「線積分である」という意味を示しており、これ以上の意味は特にないです。おそらくですが、曲線を英語にしたときに "Curve" となることから  C と書いているのかもしれません。

あと、3次元における線積分はこうなります。成分を拡張しただけです。

$$ \int_{C} f(x(t), y(t), z(t)) \sqrt{ \left( \frac{dx(t)}{dt} \right)^{2} + \left( \frac{dy(t)}{dt} \right)^{2} + \left( \frac{dz(t)}{dt} \right)^{2}} \ dt $$

これで線積分を解くことができます。

教科書や参考書によっては  ds/dt で表記されることがあります。

$$ \int_{C} f(x, y) \frac{ds}{dt} \ dt $$

これも直線  ds を微小区間ごとの直線  \frac{ds}{dt} でとりだして、時間  dt に沿って繋げていけば曲線が求まるという意味になります。

【解析力学メモ】ラグランジュ方程式

1. ラグランジュ方程式

ラグランジュ方程式はこれです。 $$ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0 $$

この式の何がすごいかというと「ニュートン運動方程式をどんな座標系でも扱える」点です。

1.1 一般化座標  q

座標系と言えば直交座標、極座標、円筒座標などがありますね。

で、この方程式の  q は一般化座標です。座標と言えば直交座標ならば  (x, y), 極座標ならば  (r, \theta) などで表現しますが、座標系に依存しないのでまとめて(一般化して)  q と書きます。

一般化座標  q は時間  t によって変化するので  q(t) という関数です。座標は言い換えればその時点での位置  x なので1階微分すれば速度 v, 2階微分すれば加速度  a というよくご存じな形になります。

また、物理学において時間微分をドットで表現する風習があるので, $$ \frac{d}{dt} q = \dot{q} $$

で表現されます。これが左辺第1項の一般化速度  \dot{q}です。「ある座標  q における速度  \dot{q}」ですね。

1.2 ラグランジアン  L

次は左辺第1項と第2項に出てくる  L についてですね。

この子はラグランジアンといい、運動エネルギー  T とポテンシャルエネルギー  U の差を意味しています。 $$ L = T - U $$

で、運動エネルギーはご存知の通り $$ T = \frac{1}{2} mv^{2} = \frac{1}{2} m \dot{x}^{2} $$ です。物理学の風習に従ってドットで表すと, 速度は位置の微分なので  \dot{x} になります。

ポテンシャルエネルギーは「系(あらゆる物体)のもつ潜在的なエネルギー」なので状況によって変化します。よく聞くのは位置エネルギーですかね。本でも筆箱でもなんでもいいので, 自分の顔の位置から自分の足にむけて落下させてみましょう。多分痛いと思います。この痛みは衝撃であり、これを決めているのが位置エネルギーです。

これを例に考えてみると, 落下スピードを決めているのは重力  g です。落下させるにはある程度高さが必要なので, 高さ  h も考慮しましょう。あと、重ければ重いほど足が痛くなる(打撲や骨折する)ので質量  m も関係していますね。 $$ U = mgh $$ 位置エネルギーのほかにも弾性(バネ)エネルギーや熱エネルギー、電気エネルギーなどがあります。ちなみにエネルギーは大きさの指標になるのでスカラー量です。

運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和は力学的エネルギー保存則(=一定)を意味しているのは分かります。で、問題は「差」が何を意味しているのかですね。ここからがちょっと大変かもしれません。

1.3 ニュートン運動方程式

ラグランジアンがなぜ差で表現されるかはニュートン運動方程式を考える必要があります。

皆さんご存知の運動方程式と言えばこれですね。 $$ F = ma = m \ddot{x} = m \ddot{q} $$ 先ほどと同じように物理学の風習でドット(加速度は位置の2階微分なのでドット2つ)を使います。

で、ポテンシャルエネルギーは位置エネルギーで考えると、足に落ちた瞬間の高さはゼロになります。つまり、「落下するにつれて力学的エネルギーが大きくなる代わりに、位置エネルギーが小さくなっていく」ことになりますね。力学的エネルギーを  F , 高さを一般化座標として考えれば $$ F = - \frac{\partial U}{\partial q} $$ となります。この式をニュートン運動方程式  F に代入すると $$ m \ddot{q} = - \frac{\partial U}{\partial q} $$ となります。

さて、あとは運動エネルギーですね。分数を消すために速度  \dot{x}微分してみます。 $$ \frac{d}{d \dot{x}} T = \frac{d}{d \dot{x}} \frac{1}{2} m \dot{x}^{2} $$ $$ \frac{d T}{d \dot{x}} = m \dot{x} $$ 何か運動方程式 m \ddot{x} に似てきましたね。ということは、この式をさらに時間微分してみると $$ \frac{d}{dt} \left( \frac{d T}{d \dot{x}} \right) = m \ddot{x} $$ あんらまぁ!運動方程式に代入できる形になりましたね。 あとは運動方程式  m \ddot{x} に代入して、速度  \dot{x} を一般化速度  \dot{q} に替えれば $$ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}} \right) = - \frac{\partial U}{\partial q} $$ となりました。この式は運動方程式をエネルギーの式で表現したものになります。

正直、これでいいのではと思うかもしれませんが運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの2種類を扱うのは美しくないので、1つにまとめてしまいます。このとき、左辺と右辺について考えてみます。

1.4 ラグランジアン形式にする

上記の式の左辺は運動エネルギー T を一般化速度  \dot{q}微分したものなので $$ \frac{\partial T}{\partial \dot{q}} $$ 右辺はポテンシャルエネルギー  U を一般化座標  q微分したものなので $$ - \frac{\partial U}{\partial q} $$ 偏微分を用いることで運動エネルギーあるいはポテンシャルエネルギーを表現できるので、それぞれを1つの関数としてまとめておくことができます。よって、 L = T - U を用いて $$ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0 $$ となります。これがラグランジュ方程式です。ラグランジアンは一般化座標と一般化速度に依存しているので  L(q, \dot{q}) の関数になります。