たくのろじぃのメモ部屋

【解析力学メモ】ラグランジュ方程式

物理学解析力学解析学数理

1. ラグランジュ方程式

ラグランジュ方程式はこれです。

${\displaystyle \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0 }$

この式の何がすごいかというと「ニュートンの運動方程式をどんな座標系でも扱える」点です。

1.1 一般化座標 $q$

座標系と言えば直交座標、極座標、円筒座標などがありますね。

で、この方程式の $q$ は一般化座標です。座標と言えば直交座標ならば $(x, y)$ , 極座標ならば $(r, \theta)$ などで表現しますが、座標系に依存しないのでまとめて(一般化して) $q$ と書きます。

一般化座標 $q$ は時間 $t$ によって変化するので $q(t)$ という関数です。座標は言い換えればその時点での位置 $x$ なので1階微分すれば速度 $v$ , 2階微分すれば加速度 $a$ というよくご存じな形になります。

また、物理学において時間微分をドットで表現する風習があるので,

${\displaystyle \frac{d}{dt} q = \dot{q} }$

で表現されます。これが左辺第1項の一般化速度 $\dot{q}$ です。「ある座標 $q$ における速度 $\dot{q}$ 」ですね。

1.2 ラグランジアン $L$

次は左辺第1項と第2項に出てくる $L$ についてですね。

この子はラグランジアンといい、運動エネルギー $T$ とポテンシャルエネルギー $U$ の差を意味しています。

${\displaystyle L = T - U }$

で、運動エネルギーはご存知の通り

${\displaystyle T = \frac{1}{2} mv^{2} = \frac{1}{2} m \dot{x}^{2} }$

です。物理学の風習に従ってドットで表すと, 速度は位置の微分なので $\dot{x}$ になります。

ポテンシャルエネルギーは「系(あらゆる物体)のもつ潜在的なエネルギー」なので状況によって変化します。よく聞くのは位置エネルギーですかね。本でも筆箱でもなんでもいいので, 自分の顔の位置から自分の足にむけて落下させてみましょう。多分痛いと思います。この痛みは衝撃であり、これを決めているのが位置エネルギーです。

これを例に考えてみると, 落下スピードを決めているのは重力 $g$ です。落下させるにはある程度高さが必要なので, 高さ $h$ も考慮しましょう。あと、重ければ重いほど足が痛くなる（打撲や骨折する）ので質量 $m$ も関係していますね。

${\displaystyle U = mgh }$

位置エネルギーのほかにも弾性(バネ)エネルギーや熱エネルギー、電気エネルギーなどがあります。ちなみにエネルギーは大きさの指標になるのでスカラー量です。

運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和は力学的エネルギー保存則（＝一定）を意味しているのは分かります。で、問題は「差」が何を意味しているのかですね。ここからがちょっと大変かもしれません。

1.3 ニュートンの運動方程式

ラグランジアンがなぜ差で表現されるかはニュートンの運動方程式を考える必要があります。

皆さんご存知の運動方程式と言えばこれですね。

${\displaystyle F = ma = m \ddot{x} = m \ddot{q} }$

先ほどと同じように物理学の風習でドット(加速度は位置の2階微分なのでドット2つ)を使います。

で、ポテンシャルエネルギーは位置エネルギーで考えると、足に落ちた瞬間の高さはゼロになります。つまり、「落下するにつれて力学的エネルギーが大きくなる代わりに、位置エネルギーが小さくなっていく」ことになりますね。力学的エネルギーを $F$ , 高さを一般化座標として考えれば

${\displaystyle F = - \frac{\partial U}{\partial q} }$

となります。この式をニュートンの運動方程式 $F$ に代入すると

${\displaystyle m \ddot{q} = - \frac{\partial U}{\partial q} }$

となります。

さて、あとは運動エネルギーですね。分数を消すために速度 $\dot{x}$ で微分してみます。

${\displaystyle \frac{d}{d \dot{x}} T = \frac{d}{d \dot{x}} \frac{1}{2} m \dot{x}^{2} }$

${\displaystyle \frac{d T}{d \dot{x}} = m \dot{x} }$

何か運動方程式の $m \ddot{x}$ に似てきましたね。ということは、この式をさらに時間微分してみると

${\displaystyle \frac{d}{dt} \left( \frac{d T}{d \dot{x}} \right) = m \ddot{x} }$

あんらまぁ！運動方程式に代入できる形になりましたね。あとは運動方程式 $m \ddot{x}$ に代入して、速度 $\dot{x}$ を一般化速度 $\dot{q}$ に替えれば

${\displaystyle \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}} \right) = - \frac{\partial U}{\partial q} }$

となりました。この式は運動方程式をエネルギーの式で表現したものになります。

正直、これでいいのではと思うかもしれませんが運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの2種類を扱うのは美しくないので、1つにまとめてしまいます。このとき、左辺と右辺について考えてみます。

1.4 ラグランジアン形式にする

上記の式の左辺は運動エネルギー $T$ を一般化速度 $\dot{q}$ で微分したものなので

${\displaystyle \frac{\partial T}{\partial \dot{q}} }$

右辺はポテンシャルエネルギー $U$ を一般化座標 $q$ で微分したものなので

${\displaystyle - \frac{\partial U}{\partial q} }$

偏微分を用いることで運動エネルギーあるいはポテンシャルエネルギーを表現できるので、それぞれを1つの関数としてまとめておくことができます。よって、 $L = T - U$ を用いて

${\displaystyle \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0 }$

となります。これがラグランジュ方程式です。ラグランジアンは一般化座標と一般化速度に依存しているので $L(q, \dot{q})$ の関数になります。

参考文献

基幹講座物理学解析力学